Kör en chansning och hoppas att vi har någon med huvet på skaft.

Hjärnan står still (man är ju förbi nobel-åldern). Jag har ett hum om hur man gör men inte mer.
Problemet är:

Vi har en linjär kopplad differentialekvation av två variabler; d<b>x</b>/dt = A<b>x</b>.
I de flesta fall kan detta lösas genom att ta fram egenvärden och -vektorer, och på så vis få:
x(t) = c1 v1 exp(lambda1 t) + c2 v2 exp(lambda2 t).

Detta ska på något sätt motsvaras av (borde väl vara exakt antar jag?):
x(t) = exp(A t)*<b>x</b>(0)

Jag har nu fått en 2x2-matris A som bara har ett (degenererat) egenvärde och en egenvektor. En lösning blir x(t) = c v exp(lambda t), men det ska finnas en till.
Mitt jobb är nu att hitta den.

Först försökte jag med lite olika ansatser med potenser av t lite varstans efter något slags tips, men det funkar inte. På nätet har jag hittat en lösning där man helt sonika lägger till en annan vektor och ett tidsberoende, men det känns skumt.

En ledning jag har fått är något svävande om att använda similära matriser för att få fram A = P J P^-1, där J är en matris på Jordan-form. (dvs i mitt 2 x 2-fall [lambda, 1; 0, lambda]).
Sen ska man då få fram e^Jt som en "taylorserie" av potenser av matrisen J. Jag har fått fram e^Jt som:
[e^(lambda t) 1+ t e^(lambda t);
0 e^(lambda t)]

Men nu står det still. Lösningen kan väl inte bara vara x(t) = e^(Jt) x(0)?
Jag har ju gjort en transformation?
Man måste väl ta den tillbaka?
Eller är det något med just similära matriser som gör att det inte behövs?

Om A = P J P^-1 så gäller att exp (t A) = P exp (t J) P^-1. Så enkelt är det att "ta den tillbaka".

Ahaaa... Den jäveln kan jag gå med på, i så fall borde ju allt vara löst!
Men hur funkar det?

Jag ser inte steget som gör det möjligt?
exp(t A) = exp(t P J P^-1) = exp (P (t J) P^-1)

Man kan väl inte arbeta med P och P^-1 som vanliga variabler, hur får man ner dem?
Eller är det helt enkelt en egenskap man får med just såna typer av transformationer?
Det var för länge sen jag ägnade mig åt linjär algebra...

<b>>"ta den tillbaka".</b>
Hehe... blir lätt lite ostringent när man sitter uppe sent på fastande mage.

Först konstaterar vi att A^n = P J^n P^-1.
Bevis genom exempel:
A^3 = A A A = (P J P^-1) (P J P^-1) (P J P^-1) = P J (P^-1 P) J (P^-1 P) J P^-1 = P J J J P^-1 = P J^3 P^-1

Sedan sätter vi in detta i definitionen av exp(M), då M är en matris:
exp(t A) = sum (t A)^n/n! = sum (t P J P^-1)^n/n! = sum (P (t J)^n P^-1)/n! = P ( sum (t J)^n/n! ) P^-1 = P exp (t J) P^-1

Jaaa, naturligtvis!
A^n var ju inget problem, tänkte inte på att man kunde göra även transformationen på Taylorserien.

Tack!