I högstadiet (11 år sen) fick jag av en klasskompis en uppgift att lösa. Vilket jag tillslut gjorde genom att testa mig fram.
Sen gav vi samma uppgift till vår mattelärare, å han knäckte det snabbt å började svamla på att det finns massor utav rätt svar.

Jag har länge tänkt på vilka fler svar det finns? Som vår lärare tänkte på (oändligt antar jag, men dom lättaste)

Uppgiften:
x^y = y^x

Bara heltal ska det väl vara.

PS. Ni mattekunniga här på pellesoft är helt galna förresten. Läser en massa diskussioner pga av nått slags siffer-intresse, men fattar noll... grymt! DS.

tja, googles första hit på "x^y = y^x" är denna http://www.leyland.vispa.com/numth/primes/xyyx.htm

Finns en gammal tråd på pellesoft där vi diskuterar detta i detalj. Sannolikheten att hitta den med pellesofts något skakiga sökmotor är väl kanske inte så hög.

Det finns oändligt många lösningar, och poängen är ganska enkel:

x^y = y^x
ln(x^y) = ln(x^y)
y ln x = x ln y
(ln x)/x = (ln y)/y

Vi kan kalla detta tal c, och får då

(ln x)/x = (ln y)/y = c

Om vi kan hitta x och y så att båda talen blir c, så har vi en lösning.

Därför kan man rita upp funktionen f(x) = (ln x) / x.

Den har en minimipunkt vid ~2.6 om jag inte minns fel. Sen får man varje tänkbar lösning genom att välja en höjd c, och ta fram de två lösningarna som det motsvaras av.

Genom att minimipunkten ligger mellan 2 och 3 inser man att heltalslösningar bara kan fås då x = 0, 1, eller 2, och det råkar vara en heltalslösning då x=2, vilket ger y=4

Vad gäller de "extra lösningarna", så kan du hitta några i min andra tråd, eller så kan du rita upp grafen och hitta punkter. Inga av dem blir "lätta" på samma sätt, man kan välja dem fritt

Man kan till exempel välja x = 1.8; då får man x/ln x ~= 7,051
Sen får vi leta efter ett y som också ger det. Ett enkelt närmevärde är y = 4.8 som ger x/ln x ~= 7,045

Räknar vi ut talen får vi
1.8 ^ 4.8 = 16,79995
4,8 ^ 1,8 = 16,83582

Genom att räkna ut 4.8 med högre noggrannhet så får vi exakt värde.