Ni har säkert sätt exempel på hur skuggan av en 4d kub skulle se ut i 3d. (Finns på youtube mm)

Men nu undrar jag, kommer det även att finnas en 2d skugga och är det i så fall 4dobjektets 3d skuggas skugga eller en skugga som direkt skapas av 4d objektet?

Och så till slut, varför ser vi aldrig dessa "skuggor"?

Jag har för mig att vi diskuterade det här för ett tag sen.


Grejen är att man har gjort hela grejen till lite hokus-pokus när det i själva verket är ganska enkelt.

Det enklaste är att kolla 3d-objekt + 2d-skugga. Vi kan anta ett ett 3d-objekt är binärt, dvs en punkt tillhör objektet eller inte. I så

fall kan vi få en skugga från objektet på en tvådimensionell yta.


Vad är då denna skugga?
Vi kan utgå ifrån den rent fysikaliska förklaringen (det kommer fotoner från någonstans, och skuggan är då det område där dessa fotoner

inte kommer fram på grund av objektet), och kan se det som att vi har någon slags tvådimensionell yta (den behöver inte vara plan) och

någon slags regel för hur en punkt på objektet "täcker" en punkt på ytan. Detta kallas för en projektion, en "mappning" från 3d till 2d. Om en 2d-punkt blir skuggad två gånger, så är den fortfarande bara skuggad.

För just "skugga" kanske vi kan anta är att vi måste ha exakt en ljuskälla på ett visst avstånd (och vi kan acceptera oändligt avstånd i

en viss vinkel). I så fall infaller ljus koniskt resp. parallellt.


Detta betyder helt enkelt att vi har en slags regel som projicerar en 3d-punkt till en 2d-punkt, det är det som är en skugga. Vilken

skugga vi får beror på var ljuskällan sitter och hur ytan ser ut och sitter. Då inser man att det finns fruktansvärt många skuggor för ett enda objekt.

Om vi tänker oss att vi har ljuskällan oändligt långt bort på x-axeln, så kommer ljuset falla in parallellt med x-axeln. Vi kan då dela

upp objektet i tunna y-z-skivor (alltså vinkelrätt mot x-axeln). Skuggan av en sån skiva är extremt enkel, det är bara exakt de punkterna

som finns i skivan (fast flyttade till "skuggrummet"). Skuggan av hela objektet är då bara alla punkter som finns som skugga i någon av

skivorna. Dessa skivor är betydligt mer intressanta än själva skuggan.



Alltså: Skuggan är en union av projektionen av alla parallella skivor. Men en enskild sådan skiva är väldigt enkel - det är bara en

2d-bild. Du kan alltså visualisera ett 3d-objekt som en 2d-film, genom att steg för steg gå igenom alla skivor, och det är en bättre bild av ett 3d-objekt än en enda skugga. Det visar då att skuggan i princip är en hopgrötad version av en film.


Och nu kommer vi fram till din första fråga. På samma sätt som att du kan projicera 3d till 2d som en skugga kan du också välja något sätt att projicera ett 3d-objekt till ett 1d. Exakt hur det går till kan du ju bestämma lite själv. Antingen sätter du en ett endimensionellt objekt (ett snöre) istället för det 2-dimensionella, och kollar på skuggan av det. Eller så tar du en "skärm" bakom, lite som en persienn. Om en "persiennstav" är skuggad säger man att hela den är skuggad. Detta är samma sak som att titta på skuggan av skuggan.


På samma sätt är det med en 2d-skugga av ett 4d-objekt. Du kan välja lite olika varianter för vad som är skuggan, men det är fullt möjligt att skapa, och en av de varianterna är just skuggan av skuggan. Och på samma sätt är det 3d-snitten ur ett 4d-objekt som egentligen är intressanta. Det är det vi kallar "verklighet", precis som 2d-snitten blir en film.


Det här kanske låter rörigt, men det är för att själva begreppet "skugga" är lite oklart. I 3d-2d är det rimligt och enkelt eftersom vi kan utgå ifrån ljust, men annars får man bestämma sig för vad man menar.

Tack för svaret, jag tror jag förstår vad du menar.

Men om vi tänker oss att det fanns en 4d-ljuskälla, skulle vi då se skuggor av 4d-objekt i den bemärkelsen vi känner skuggor?

Nu blev jag också att fundera på ifall solen (och andra ljuskällor) bara lyser i 3 dimensioner eller även i högre dimensioner? Antagligen gör den inte det eftersom vi då skulle se dessa skuggor? Eller är jag helt ute och cyklar.


Nu talar jag alltså bara om skuggor som den plats dit ljuset inte når.

Alltså... det är lite skumt uttryckt. Vi kan bara uppfatta en 3-dimensionell värld (+tid), och vad jag vet känner vi inte till något faktiskt makroskopiskt fenomen som inte kan beskrivas tredimensionellt. Det är därför lite märkligt att prata om att vi skulle se skuggor av 4-dimensionella objekt. Solen är inte fyrdimensionell - alltså lyser den bara i tre dimensioner (eller rättare sagt, fotonernas bana bildar 4-dimensionella kurvor i rumtiden, som börjar i solen).

Vi skulle kunna kalla verkligheten omkring oss (varje snapshot i tiden) för 3d-skuggor av 4d-objekt, men det är snarare att titta på snitt av de 4d-objekt som universum består av. Du är alltså en lång, utdragen 4-dimensionell klump, <b>eller</b> en 3d-film. Spelar ingen roll, det är ekvivalent. Däremot är "skuggor" inte riktigt rätt.

Däremot kan vi förstås konstruera det, rent matematiskt (precis som vi kan förenkla det till 2d).
Om vi tittar på en fyrdimensionell rymd med koordinatsystem (x1, x2, x3, x4) istället för (x, y, z), så kan vi kolla på "ljus" från en viss 4d-punkt som alla strålar som utgår från den punkten, och sen definiera ett 4d-objekt som något som har utsträckning i alla 4 ledder, och slutligen en 3d-yta som ligger i 4d-rummet (och bara har utsträckning i tre av dessa ledder).

Då kan vi förstås också titta på alla punkter på denna 3d-yta som inte träffas av strålarna från "ljuskällan", och det är just det som är det du har sett i filmer etc. Men det har ingen riktig koppling till verkligheten - det kanske låter lite coolt med 4d-skuggor, men det är mest snack, och det finns massor av andra områden inom geometri och matematik som är mycket intressantare.

Tack, så med andra ord kan man endast matematiskt jämföra 4d-3d relationen med en 3d-2d relation? Nu börjar jag få lite klarhet i det tror jag.

Ja, typ, när det kommer till "skuggor", eftersom det har en tydlig fysikalisk innebörd.

Men!
Du kan som sagt enkelt jämföra 3d-2d och 4d-3d-relationer när det kommer till snitt.
Genom att visa flera 2d-snitt ur ett 3d-objekt kan du få en film (kolla MRI t ex), och på samma sätt kan du se en 2d-film som ett slags 3d-objekt.

Ett 3d-snitt ur ett 4d-objekt blir ett 3d-objekt, och en sekvens av sådana blir i praktiken det du ser i ett 3d-datorspel, eller för all del, verkligheten omkring dig. På samma sätt kan du se verkligheten som 4d. (S.k. "rumtiden")

Tack! Känner mig åtminstone lite klokare nu :D

En fysikprofessor (från chalmers, en av sveriges mest kända internationellt) sa vid ett tillfälle att det var en av fysikernas absolut viktigaste uppgifter: förklara "högre" fysikaliska eller matematiska fenomen för "gemene man". Tre anledningar:
1. Ta bort töntig omotiverad magi/mystik kring relativt enkla fenomen.
2. Förklara den faktiska innebörden av fenomenen alt. förklara varför de är ointressanta.
3. Skapa intresse kring fysik/matematik.

Hoppas jag har lyckats hyfsat. =)
Det viktigaste tycker jag är punkt 1, och lite naivt hoppas jag att 3 kommer av sig själv om man berättar det man vet. 2:an är svårare utan att gå in på åtminstone halvsidesförklaringar med bilder alt. totalt sänka grejer som verkar (sök mandelbrot på pellesoft för att se en av mina såna sågningar... =) ).


Och i samband med detta gör jag också något man aldrig ska göra: lite vaporware. Jag har funderat på en sida om "komplicerad fysik för lekmän/enkel fysik analyserad så in i helvete", och har både en domän väntande, och några små artiklar påbörjade. Hoppas någon kan vara intresserad, jag har ju ändå lagt närmare 150 kr hittills. =)

Det låter som en utomordentlig idé! Jag brukar läsa illustrerad vetenskap men dom går oftast inte särskilt djupt in på detalj.

Det är väl svårt antar jag att hålla det kort och ändå förklara det på detaljnivå. Blir det flera sidor långa förklaringar orkar nog inte oinsatta som mig att läsa igenom det :)