#include <iostream>
#include <conio.h>

using namespace std;
int main(){
                        
     char namn;
     int alder;
          
     cout <<"Hejsan! Vad heter du?" <<endl;
     cin >> namn;
     cout <<"Vilket coolt namn!" <<endl;
     cout <<"Hur gammal är du då?" <<endl;
     cin >> alder;
              
     if(alder>35){ 
     cout <<"Du har passerat dina bästa dagar, " <<namn <<"!";
     } 
     else if(alder>20){
     cout <<"Du börjar bli gammal, " <<namn <<"!";
     }
     else{
     cout <<"Du är ju bara ett litet barn, " <<namn <<"!";
     cin.get();
     }
     }

Lägg till system("PAUSE") i slutet så kommer den att vänta på att användaren trycker på en tangent.
Du har nämligen ingen funktion som hindrar programmet från att avslutas.

Men kommandot cin.get() gör ju så att programmet väntar på en knapptryckning.
Dessutom kommer programmet så långt som till att man hinner skriva in sitt namn och sen om man har snabba ögon så hinner man se att texten "Vilket coolt namn! Hur gammal är du då?" blixtrar till i rutan precis innan den stängs ner.

Så jag frågar en gång till, vad är det för fel som jag har gjort?

För det första körs inte din cin.get() mer än i else blocket.
Problemet med att man inte får skriva in ålder beror troligen på att du måste köra en funktion efter att du läst in namnet.
Minns inte nu vad det var för funktion, men den ligger i cin klassen i alla fall. Tror att det nämligen blir kvarliggande något tecken när du läst in namnet, vilket orsakar ett fel då åldern ska läsas in.

cin.ignore() eller cin.flush() eller något i den stilen.

Kolla på istream-klassen på någon av de tusentals c++-referenser som finns för att se vad du har.

Tack så mycket för hjälpen, men nu har jag stött på ännu ett problem.
När man har skrivit in åldern så skrivs rätt del av if-satsen ut, men endast första bokstaven i det namn man har angivit. Hur åtgärdar man detta?

Eftersom du har en char = en bokstav. Vad du ska ha är en string (std::string, ligger i <string>).

Du skulle kunna använda en char*, men gör det inte.
http://www.google.se/search?hl=sv&q=std%3A%3Astring

Tack så jättemycket gör hjälpen! :)