Här kommer en lite smålustig gåta (och som vanligt så är det inte så kul om folk som redan har hört den svarar direkt...):

Vi börjar med två hattar, hatt A och hatt B. I hatt A finns det ett antal svarta kulor och ett antal vita. Samma sak i hatt B (fast ett annat antal av både svarta och vita).

Det kan till exempel vara 3 svarta och 2 vita i hatt A och 7 svarta och 5 vita i hatt B.

Nu vill du ha en svart kula; vilken hatt bör du välja att dra ifrån?
I detta exemplet är sannolikheten 3/5 (0,6) i hatt A och 7/12 (~0,58) i hatt B. Därför är hatt A bäst.

Vi gör samma sak med två nya hattar, kalla dem C och D. Låt säga att C hade bäst sannolikhet. A hade bäst av A och B, och C hade bäst av C och D.

Nu tar vi kulorna från A och C, och lägger ihop dem, och gör samma sak med B och D. vilken av dessa två högar har bäst sannolikhet?

Det naturliga svaret blir naturligtvis att högen med A och C har bäst sannolikhet, men KAN det bli så att högen med B och D har bättre?

Och bevisa svaret.

=)

Jag kan inte minnas att jag har sett problemet tidigare, men lyckades hitta exempel som visar att svaret är "ja"; det kan bli större sannolikhet att dra en svart kula från B+D än från A+C, trots att det är större chans att dra en svart kula från A än från B, och större chans att dra en svart kula från C än från D.

Exempel puliceras inte ännu, men skickas till Niklas.

Jag har hittat ett exempel (imailat till Niklas) och kan med lätthet plocka fram flera, men jag är för usel på att härleda bevis även om jag förstår vilka förutsättningar som måste vara uppfyllda.

Tror jag vet svaret men orkar inte imaila =)

Enidea; jo skicka! =)

Jag lägger nu till ett krav: det måste finnas både svarta och vita kulor i alla hattarna.
Bara för att jävlas med Trash. =D. Det finns alltså lösningar som går ut på att någon av kulorna är 0, men såna vill jag inte ha.

Kom igen nu folk! Räkna på!

Per Perssons svar är för övrigt rätt, men det vore kul om fler kunde ge sig på problemet.

I'm on it...ge inte bort lösningen ännu :-)

Äsch, go ahead...nu skiter jag i denna gåta :-)

Okej, jag släpper lösningen:

Ja, det går, och det finns massvis med lösningar.
Om man beskriver problemet lite matematiskt så kan man säga så här:

vi kallar antalet svarta för sA, sB, osv., och totala antalet för tA, tB, osv.

Då vet vi att följande skall gälla:
sA/tA>sB/tB
och
sC/tC>sD/tD

eller ekvivalent

sA*tB>sB*tA
sC*tD>sD*tC

för att lösa det behöver nu:

(sA+sC)*(tB+tD)<(sB+sD)*(tA+tC)

detta kan vi utveckla, och får då ett uttryck som man (åtminstone inte jag) inte på rak arm kan säga är möjligt eller inte. Gör man däremot ett program får man fram lösningar av alla möjliga slag.

Den första jag fick fram var:

svarta/totalt
A:9/14
B:8/13
C:11/28
D:6/16

En av de minsta är:
svarta/totalt
A:3/4
B:4/6
C:3/7
D:1/3

Om intresse finns kan jag ju visa programmet.

> detta kan vi utveckla, och får då ett uttryck som man (åtminstone inte jag) inte på
> rak arm kan säga är möjligt eller inte.

Jag fick fram att följande olikhet skall vara uppfylld:
0 < (pA-pB) tA tB + (pC-pD) tC tD < (pB-pC) tB tC + (pD-pA) tA tD

Här är pA, pB, pC och pD andelen svarta i resp. hatt, dvs pA = sA/tA etc.

I det sista ledet (uttrycket till höger om andra <) kan endast ett av uttrycken pB-pC och pD-pA vara sant pga antagandena. Antag att pD-pA < 0 och pB-pC > 0. För att få det sista ledet att bli positivt, måste då tB tC vara stort jämfört med tA tD för att den senare, negativa, termen inte skall få hela uttrycket att bli negativt.

Utifrån detta fann jag en första lösning:

svarta/totalt
A: 2/3
B: 50/100
C: 26/100
D: 1/4



> Gör man däremot ett program får man fram lösningar av alla möjliga slag.
> Om intresse finns kan jag ju visa programmet.

Det får du gärna göra.