Det är ju ett ganska känt faktum att den plana tvådimensionella form som har minst omkrets i förhållande till area är cirkeln. Men hur bevisar man det?

Tror inte jag har sett ett bevis för det i någon litteratur jag har läst. För så sabla svårt kan det ju inte vara...

Min första tanke var att jämföra en cirkel med en triangel, en fyrhörning, etc. med samma omkrets, och låta antalet sidor gå till oändligheten men det blir väl dels svårt om formerna inte är liksidiga, och är väl dels inte tillräckligt för att anses vara ett bevis.

En annan idé jag hade var att man kunde utgå ifrån en cirkel och sen göra en form som avvek en aning från cirkeln (man tar till exempel en del av cirkeln och gör om den till en triangel, och visar att alla olika varianter av den formen med rätt omkrets har mindre area än cirkeln). Men det borde ju inte heller räcka som bevis.

Som en föreläsare sa en gång: De lär ut alldeles för lite geometri i skolan.

Nån som vet något?

>Min första tanke var att jämföra en cirkel med en triangel, en fyrhörning, etc.
<med samma omkrets, och låta antalet sidor gå till oändligheten men det blir väl dels
< svårt om formerna inte är liksidiga, och är väl dels inte tillräckligt för att anses vara ett bevis.

Om jag minns rätt så är det exakt så Archimedes 287 - 212 f.Kr gjorde och bättre bevis kan du inte frambringa.
Han ritade trianglar sida vid sida så nära det oändliga han kunde och bildade på
så sätt något som nästan var en cirkel.Tror inte någon annan kommit längre än den
gode Archimedes. "Rubba inte mina cirklar" var hans sista ord innan han blev dödad
av en romersk soldat.

Han myntade också den berömda sentensen.
"Om en kropp nedsänkes i vatten så .... Ringer telefonen" .

Enklare skulle väl vara följande:
1. Bevisa att alla cirkulära former är månghörningar med ett oändligt antal sidor.
2. Bevisa att en månghörnings (med oändligt antal sidor) area alltid ökar ju närmare formen kommer en cirkel utan att omkretsen förändras.

Hur bevisar man ettan?

Tvåan bevisas enklast med att gå från en oval till en perfekt cirkel då en månghörning med oändligt antal sidor alltid är en förvrängd cirkel.

Beviset bygger på att man först visar att olikheten 4 pi A <= L^2, där A är arean och L är omkretsen, gäller för alla figurer i planet. Eftersom likhet gäller för cirkeln, är det den figur som har störst area för en given omkrets.

Här är beviset: http://www.math.jhu.edu/~js/Math427/coursenotes/node3.html och speciellt http://www.math.jhu.edu/~js/Math427/coursenotes/node4.html för beviset av olikheten.

Ah!
Där var ett bevis jag gick med på. Hade tänkt i ungefär sådana banor också, men kom inte på nåt bra sätt att få fram en övre gräns. Brukar ju annars vara ganska lätta bevis när man får fram ett bra supremum-villkor.

<b>>Om jag minns rätt så är det exakt så Archimedes 287 - 212 f.Kr gjorde och bättre bevis kan du inte frambringa.
Han ritade trianglar sida vid sida så nära det oändliga han kunde och bildade på
så sätt något som nästan var en cirkel.</b>
Njae... det han gjorde var väl att få fram en approximation till pi?