Har så förbannat mycket att göra, några få timmar kvar till deadline, så naturligtvis kommer jag på en lustig "gåta" och kommer på svaret... =)

Vi tar ett tal a:
a=1+2+4+8+...
b=2*a=2*(1+2+4+...)=2+4+8+...
a-b=1
a-2a=-a=1
a=-1

För det första är 2*a mindre än a, för det andra är en summa av positiva tal ett negativt tal. Var är det som är fel? Hur kan man lösa man det?
Hur bevisar man att det inte är rätt, utan att differensen är -oändligheten?

Differensen mellan två oändligheter (a-b samt a-2a) är inte definierad.

a-b är inte 1

Vi tittar på hur differensen utvecklas för talföljder med begränsat antal:

(1) - (2) = -1
(1+2) - (2+4) = 3-6 = -3
(1+2+4) - (2+4+8) = 7-14 = -7
(1+2+4+8) - (2+4+8+16) = 15-30 = -15

När längden på talföljderna går mot oändligheten så går differensen mot minus oändligheten.

Alltså är a-b = -oändligt.

Men oändligheten minus oändligheten är ju också 0 (noll)

och då kan man med lite beräkningar räkan ut att a = 2a och följden blir att 1=2

Funktioner som går mot oändlighet (eller 0) räknas bäst med derivata (och integralkalkyler) :)

/micke

> Men oändligheten minus oändligheten är ju också 0 (noll)

Nej, det är det inte. Du kan inte subtrahera två oändligheter. Oändligheten är inte en enhet du kan räkna med.

>Differensen mellan två oändligheter (a-b samt a-2a) är inte definierad.
Ja, det är ju rätt svar, men du kunde ju väntat en aaaning längre. Det är roligare om alla får fundera. Nu vill jag ha ett bra bevis för att a-b är -oändligheten.

>och då kan man med lite beräkningar räkan ut att a = 2a och följden blir att 1=2

Att 1=2 visas väl enkelt så här

a=b
a*a = a*b { båda sidor multiplicerade med a }
a*a - b*b = a*b - b*b { subtrahera b*b }
(a+b) * (a-b) = b * (a-b) { omskrivning av samma sak som ovan }
(a+b) = b { eliminera samma på båda sidor }
1+1 = 1

(Nollor kan också vara kluriga att räkna med)

>> Men oändligheten minus oändligheten är ju också 0 (noll)

<Nej, det är det inte. Du kan inte subtrahera två oändligheter. Oändligheten är inte en enhet du kan <räkna med.

Jo det är det, men det är 7 samtidigt och 95 och -432,5. Det är alltså alla tal från positiv oändlighet till minus oändlighet samtidigt.
Räkneexemplet ovan räknar med att resultatet endast är noll, vilket var det felaktiga antagandet.

/micke

>Jo det är det, men det är 7 samtidigt och 95 och -432,5. Det är alltså alla tal från positiv oändlighet till minus oändlighet samtidigt.
>Räkneexemplet ovan räknar med att resultatet endast är noll, vilket var det felaktiga antagandet.
Nej... oändligheten existerar bara som begrepp i samband med jämförelser (såsom gränsvärden), det är inget tal. Det enda område där man faktiskt betraktar oändligheten som en egen enhet är inom komplex matematik, där man definierar den som en "punkt på andra sidan". Anledningen till att man gör det är att analytiska funktioners egenskaper gör att det blir rimligt.

Men skit samma; ett vettigt, konsekvent bevis för att "a-b=-oändligheten" vill jag ha! (Och det finns något som är väldigt nära i denna tråden)
=)

Du tänker på Guffas talföljder som visar att
lim 2^n - lim 2^(n+1) = - oändligheten

Med din notation
a = lim 2^n
b = lim 2^(n+1)
vilka båda är icke-existerande gränsvärden (= "+oändligheten"),
får vi
a - b = -oändligheten.

Njae... jag hade inget speciellt sånt "in mind". Tänkte bara en enkel variant:

a=lim n->oändligheten (1 + 2 + 4+ ... + n)
2a=lim n->oändligheten (2 + 4+ 8 +... + 2n)

a-2a=lim n->oändligheten (1-2n)-> -oändligheten.
inte svårare än så...

...men alltså...

...om a=b -> (a-b)= 0

(a+b) * (a-b) -> (a+b) * 0 = 0

b * (a-b) -> b * 0 = 0

...alltså (a+b) * (a-b) = b * (a-b)

(a+b) * 0 = b * 0

0 = 0

,,,eller?

ChristerGbg

Om a=b då är a-b=0
Om a=b så är a-2b=0 omm (om och endast om) a=0

Sen får vi dela upp problemet i 2 delar:
Del 1
a=b
Antagande: a-2b -> -oändligheten
a=1+2+...+(n-1)+n
2a=2+4+8+...+n+2n
lim(a-2b)=lim((1+2+...+(n-1)+n)-(2+4+8+...+n+2n)) -> -oändligheten
Antagande sant

Del 2
a=b
Antagande: a-2b -> -oändligheten
a=(-1)+(-2)+...+(-n+1)+(-n)
2a=(-2)+(-4)+(-8)+...+(-n)+(-2n)
lim(a-2b)=lim(((-1)+(-2)+...+(-n+1)+(-n))-((-2)+(-4)+(-8)+...+(-n)+(-2n))) -> oändligheten
Antagande falskt

Slutsats
a-2b då a=b är 0 omm a=0
a-2b då a=b -> -oändligheten omm a > 0
a-2b då a=b -> oändligheten omm a < 0

Uträkningen ovan går självklart även att göra motsvarande på komplexa tal a+bi. Då visar man att det gäller för samtliga tal i talsystemet.

en lite fråga bara: vad är lim??

För det första: Nåt e mysko i din förklaring där, Hasse. Du verkar ha tatt samma antaganden båda gångerna.

<b>>en lite fråga bara: vad är lim??</b>
lim är en förkortning för limes. Det använder man för att beskriva s.k. gränsvärden. Den är inte alltid nödvändig. Om vi till exempel ska räkna ut derivatan av en funktion kan vi göra så här:

f(x)=x^2 (dvs. x i kvadrat)
f(x+h)=(x+h)^2

Vi räknar nu ut en approximation till derivatan f'(x), som vi kallar fp(x)
fp(x)=((x+h)^2-x^2)/h

För att få det exakta värdet på derivatan behöver h vara 0, men det kan vi inte sätta in som det är nu. Därför skriver man om det som
fp(x) = (x^2+2xh+h^2-x^2)/h=(2xh+h^2)/h=2x+h
Problemet är att vi bara kan göra det om h != 0. Istället för att säga att h=0, så säger vi att vi låter h gå mot 0, vilket vi skriver som h->0.
vi kan då skriva
fp(x)=2x+h->2x=f'(x) då h->0

Ett annat sätt att skriva det är att använda lim. då skriver vi

f'(x)=lim h->0 fp(x)=lim h->0 2x+h = 2x

Fast ibland kan man strunta i "h->0", om det är helt uppenbart vad man pratar om.
I vårat fall är det n->oändligheten som är uppenbart.

Anledningen att antagandet gjordes 2 ggr är inte så mysko, jag ville vara tydlig bara. Problemet var ju ett antagande att a-2b -> -oändligheten. Det vanliga inom matematiken med gränsvärden är att man delar upp problemen. Först tittar man på ekvationen om den kan vara lika med 0. I det här fallet var det sant, då får man ju börja med att titta när det är lika med 0, eftersom vårt antagande inte stämde då. Sen får man titta på dels de positiva talen, sen de negativa talen. a-2b ska ju gälla alla uttryck, därav blir det här 3 olika fall att undersöka.

Precis som ovan beskrivet är lim (limes) latin för en gräns. T.ex. f(x)=a/b där a inte är 0 kan aldrig vara lika med 0, men med gränsvärde kan den gå mot 0 och till slut vara så litet att man säger att ekvationen går mot 0.

(f(x+h)-f(x))/h är ett äldre uttryck som är vanligast idag vid vanlig derivataberäkning. Dock finns en bättre variant som används framför allt i numerisk derivering:
(f(x+h)-f(x-h))/2h
Vid gränsvärdesberäkningar ger den ekvationen mindre fel än den föregående.

Ett förtydligande:
(f(x+h)-f(x))/h är det uttryck som gäller för definitionen av derivata.
(f(x+h)-f(x-h))/2h ger inte alltid derivatan när gränsvärde tas, men för "snälla" funktioner ger det en bättre approximation och snabbare konvergens än det förra.

Nu verkar vi ha spårat iväg totalt här...
Jag hade ett enkelt tankexperiment; (1+2+4+8+...)-(2+4+8+...)=?

Att man sen kan göra ett motsvarande för negativa tal stämmer väl iofs, men själva poängen var att det är en vanlig tankevurpa man gör och att det därför ger vansinniga slutsatser.

Sen frågade "Simon" vad lim betyder, och jag gjorde en liten enkel förklaring och gav en rimlig anledning.
Det hade inget att göra med numeriska beräkningar av derivator, jag kunde lika gärna pratat om gränsvärdet av f(x)=(x-1)/(x-1) då x->1.

Hmm jag läste ditt inlägg: "Men skit samma; ett vettigt, konsekvent bevis för att "a-b=-oändligheten" vill jag ha!". Trodde att det var det jag gav dig, men jag ber om ursäkt om jag tolkade den raden fel.

Sen kan det väl vara kul att veta (precis som med programmering) att det finns olika varianter till lösningar?