Det här är en gåta jag fick uppläst av en hjälpföreläsare för något år sedan. Vi fick en vecka på oss, sen skulle de som ville presentera sina svar. Det var bara en som svarade, men det svaret gillade inte föreläsaren. Jag hade tänkt ut en variant, men jag struntade i att säga den. Föreläsaren hade en tredje idé om hur det fungerar.

Jag har alltså inget definitivt svar, bara min variant, föreläsarens variant (om jag nu kommer ihåg den rätt), och den tredje killens variant. Dessutom har jag kommit på en liten utvidgning av min variant som gör den ganska komplicerad, men mer korrekt.

Formuleringen är följande:
Du har en cylindrisk bägare; dvs. botten och sidor.
Dimensionerna är givna, du har tjockleken d, innerhöjden h och innerradien r. (förmodligen kan man ju approximera bort tjockleken).
I bägaren finns det vatten. Du har också ett förhållande alfa mellan densiteten för vatten och bägaren.

Hur mycket vatten ska det vara för att det ska vara så svårt som möjligt att välta bägaren?

Några funderingar eller spekulationer?

Man måste definiera "så svårt som möjligt att välta bägaren". Jag tolkar svårighetsgraden som hur stor horisontell kraft som krävs vid bägarens övre kant för att den skall lätta från underlaget.

Om man tänker sig en vanlig plast- eller pappersmugg så behövs inte särskilt mycket kraft för att välta den när den är tom. Fyller man på vätska krävs större kraft pga ökad vikt. Men om man tänker sig en väldigt hög mugg som man fyller till bredden, kan tyngdpunkten hamna så högt att det inte behövs särskilt stor kraft.

Det går inte att lösa uppgiften med enbart de givna kriterierna.

Man måste även ha friktionskoefficienten mellan bägaren och underlaget. Ifall friktionen är tillräckligt låg så är det nämligen omöjligt att välta bägaren, eftersom den bara glider undan.

Eller ska vi anta att friktionskoefficienten är oändlig, alltså att bägaren aldrig glider på underlaget?

Bra poänger. Det var det första jag tyckte; att formuleringen var bristfällig.

För det första: friktionen är oändlig.

Per Perssons svar var också min första fundering. Jag har kommit fram till lite olika idéer.
På ena "ledden": antingen hur mycket kraft eller hur stort arbete som krävs för att välta den.
På andra "ledden": antingen hur mycket av ovanstående som behövs i en viss punkt (t.ex. hur stor kraft i toppen av den), eller någon typ av medelvärde (mha en integral, t.ex.).

Men om vi ska få fram en hyggligt matematisk lösning, utifrån de förutsättningarna, hur gör vi då?

Nu kommer amatören med sin fundering.

Bägaren kommer att välta vid en viss vinkel.Denna vinkel skall vara så stor som möjligt.
Jag gissar omkring 42 gr.Tänker på hur jag välter ett 200 l oljefat. Vid den optimala vinklen
är det lätt att hantera fatet rullande.Där ligger den optimala vinkeln kring 20 gr.

Vi måste alltså dra en diagonal genom bägaren och vattenmängden med sin vikt/2
skall vid optimal vinkel ligga på båda sidor om denna diagonal.

Rent toretiskt kan du hitta en vattenmängd som får bägaren att stå lutad
som lutande tornet i Pizza och då med en maximal vinkel.Den skall Vi hitta.

Häll i en liter kolla vid vilken vinkel du har samma vikt på båda sidor om diagonalen.
Då har Vi förmodligen hittat en konstant som kan användas i alla läge.
Tror jag skall angripa problemmet med en del triangelsolveringar.

En utvikning som Niklas inte gillar :-)
Häll upp 6 cl sprit i ett provrör med 1 cm diameter
Ställ upp ett 6 cl snappsglas framför din combertant.

Slå vad med honom att mängden kommer att få plats i hans snappsglas.

<b>Jag tolkar svårighetsgraden som hur stor horisontell kraft som krävs vid bägarens övre kant för att den skall lätta från underlaget.</b>

Jag tänkte mig här att bägaren står på ett horisontellt underlag och man trycker i sidled mot bägarens övre kant. Men jag har insett att den kraft som krävs för att få bägaren att lätta från underlaget då bara blir proportionell mot totala massan. Så ju mer vatten, desto stabilare. Bägaren skall alltså fyllas till bredden.

Om man istället mäter hur mycket man kan luta på underlaget innan bägaren med vätskan välter, blir det intressantare. Eftersom vätskan omfördelas när man lutar bägaren, kommer masscentrum att förskjutas åt det hållet som bägaren lutar. För en fullständig lösning måste vi bestämma masscentrum för ett cylindersegment (vätskan) vars ena ände (basen) är vinkelrät mot symmetriaxeln medan den andra änden är ett snett plan.

Sedan jämför vi det horisontella läget för bägarens plus vätskans gemensamma masscentrum med nedre hörnets läge för att se vid vilken vinkel bägaren tippar för olika vätskehöjder. Tippvinkeln skall maximeras, vilket som vanligt löses genom att sätta derivatan (av tippvinkeln m.a.p. vätskehöjden) lika med noll.

Återstår att faktiskt utföra beräkningen...

Som gamal sjöman borde jag direkt kommit på att det Ni pratar om är "Metacentahöjd" sök på det !

Se Estonia.: När har jag för mycket fria vätskeytor inom mitt skrov ?

Det är bland det farligaste som finns för Tankbilar och Fartyg . Fria vätskeytor !

Nu har vi betat av den andra killens lösning: fylla hela till brädden.
Problemet ligger dock som sagt i formuleringen.

Den lösning du nu är inne på Per, är precis den jag valde, dock med ett tillägg.
Jag gissar nämligen på att bara ha en hög tippvinkel inte är nog, utan att man om man räknar med totala arbetet för att välta den kommer få ett aningen annorlunda resultat. En enormt tung bägare med liten tippvinkel kan ju kräva mer energi en än lätt bägare med stor tippvinkel.

Själva formeln för vattnets masscentrum frågade jag faktiskt om på "Fråga lund på internet", så det kan jag skaka fram. Men lösningen blir ju något otroligt mycket mer komplex än den först verkar!

Sven: Är det möjligt att få fram masscentrum med "metacentahöjd". Annars hjälper det nog tyvärr inte.
(och angående avstickaren; inget fel i det. En liknande; häll upp ett cocktailglas. "Jag tar övre hälften, du tar undre"...=) )

<b>Jag gissar nämligen på att bara ha en hög tippvinkel inte är nog, utan att man om man räknar med totala arbetet för att välta den kommer få ett aningen annorlunda resultat. En enormt tung bägare med liten tippvinkel kan ju kräva mer energi en än lätt bägare med stor tippvinkel.</b>

Då är vi tillbaka till vad vi menar med stabilitet. Lutar vi på underlaget tills bägaren tippar, har arbetet ingen betydelse, utan endast tippvinkeln. Men om vi kastar ett föremål mot bägaren är det föremålets energi i förhållande till bägarens "tippenergi" som avgör om bägaren tippar.

I det senare fallet, dvs om vi kastar ett föremål mot bägaren, är det dessutom så att bägaren kan vingla (dvs botten lättar från underlaget) utan att tippa/välta. För att bägaren skall vingla måste en kraft som överstiger "vingelkraften" uppstå vid stöten, och för att bägaren skall tippa måste bägaren ha tagit upp en energi som överstiger "tippenergin".

Snart börjar det väl vinglas med vinglas också... :-)

>Sven: Är det möjligt att få fram masscentrum med "metacentahöjd".

Givetvis det har skrivits mängder av avhanlingar om detta. Jag har Styrmansexamen

Dom tragglade dessa formler med oss. Metacentahöjd. "Fria vätskeytor" är svaret.
Det är därför han nämner höljets tjocklek.

Söker på Goggle "Metacentahöjd" konstigt, heter det inte så, hittade inget.
Dvs den höjd där masscentrum förskjutits så att den ligger över den punkt där stabilitet råder.
Ex. den där leksaken gummigubben som reser sig hur man än knuffar ikull den.(blykula i botten)

Kan det heta "metacenter"? http://www.hyperdictionary.com/dictionary/metacenter

Exakt Per där satt den.

Definition: \Met`a*cen"ter\or -tre \-tre\, n. [Pref. meta- +
center.] (Hydrostatics)
The point of intersection of a vertical line through the
center of gravity of the fluid displaced by a floating body
which is tipped through a small angle from its position of
equilibrium, and the inclined line which was vertical through
the center of gravity of the body when in equilibrium.

Note: When the metacenter is above the center of gravity, the
position of the body is stable; when below it,
unstable.

Niklas Skrev:
>Men lösningen blir ju något otroligt mycket mer komplex än den först verkar!

Så är det "ju mer man rotar i en skit ju mer luktar det"
http://www.hyss.net/Hyss/FtgStab.pdf

Jag tycker att det är relevant att tänka sig att din bägare flyter i ett vattenkar.
Man häller i vatten och vid en viss nivå så rättar den inte upp sig om man knuffar på den.