Väldigt enkel fråga. Räknas den här grejen som ett axiom, och om inte - hur bevisar man det?
a>b>c => a>c

Jag ger mig väl på detta. Kanske bevisar man det så här (alltså inte axiom) :

Eftersom a>b så är a=b+k där k>0. På samma sätt är alltså b=c+l där l>0. Alltså är

a=b+k=c+l+k där k och l >0

Sätt in detta i a>c

a>c =>
a-c>0 =>
c+k+l-c>0 =>
k+l>0

Det sistnämnda är givetvis sant eftersom k och l>0. Slutsatsen blir att a>c om a>b>c...

Jepp, det verkar vettigt. Funderade knappt på det, det bara "kändes" som ett typiskt axiom... =)
Det är ju absolut inga problem att se det rent intuitivt.

Jag håller med, bevis känns nästan överflödigt.

Det får mig att börja fundera; finns det axiom som går att bevisa eller är det en del av definitionen av begreppet att det inte går att bevisa? Jag kommer inte ihåg, det är 10 år sedan jag pluggade sådant...

En relation R som uppfyller "om x R y och y R z så x R z" kallas transitiv.

Att > är transitiv kan vara ett axiom eller en sats beroende på vad man vet om mängden som elementen (x, y och z ovan) tillhör. För naturliga tal (1, 2, ...; ibland även 0), heltal (..., -2, -1, 0, 1, 2, ...), rationella tal (ex. 3/4, 8/1) och reella tal (alla "vanliga" tal) kan man visa att > (lämpligt definierad) är transitiv och dessutom ordnar talen "linjärt". För dessa tal blir det alltså en sats. Men ibland vill man undersöka vilka egenskaper som gäller allmänt för mängder som har en ordningsrelation >. Då blir transitivitetsegenskapen en förutsättning som vi utgår från, dvs en premiss eller - om man så vill säga - ett axiom.

För de komplexa talen kan man inte definiera > så att den för naturliga/önskvärda egenskaper när den kopplas ihop med räkneoperationerna + och *.

Om man vill bevisa att > är transitiv på t.ex. de naturliga talen måste vi ha två definitioner, dels för de naturliga talen, dels för >. Den vanligaste definitionen av de naturliga talen är Peanos axiom (http://susning.nu/Peano). Som definition av > skulle vi kunna ta att x > y om det finns (ett naturligt tal) z så att x = y + z. För att göra den här definitionen måste vi förstås först ha definierat operationen addition (http://susning.nu/Addition). Själva bevisat följer sedan huvudsakligen Hultans bevis, men vi får inte använda subtraktion som inte är definierad för godtyckliga par av naturliga tal (vi håller på med de naturliga talen, så resultatet skall vara ett naturligt tal; när vi definierat > kan vi definiera subtraktion för vissa par av naturliga tal). Beviset blir därför så här:

Antag att x > y. Då finns u så att x = y + u.
Antag vidare att y > z. Då finns v så att y = z + v.
Av detta följer att det finns u och v så att x = (z + v) + u = {associativ regel för + tidigare visad} = z + (v + u).
Eftersom v + u är ett naturligt tal finns alltså w (= v + u) så att x = z + w, dvs x > z (enl. def. av >).

Tack för ett mycket informativt inlägg.

Jag kommer ihåg första gången jag läste följande :
<info>
Axiom 1: Det finns ett tal, som betecknas 0.
Axiom 2: Till varje tal x finns det ett tal p(x) som kallas efterföljare till x
Axiom 3: För varje tal x gäller att p(x) är skiljt ifrån talet 0
Axiom 4: Om p(x) = p(y) så är x = y
Axiom 5: Om M är en mängd av tal där 0 tillhör M och att x tillhör M innebär att p(x) tillhör M så innehåller M alla tal.
</info>
Det var bara dagar efter att jag började plugga matte i Växjö och köpte mina första "riktiga" matte-böcker. Fram tills högskolan existerade ju inte bevis i böckerna om jag minns det rätt, så det var den första positiva upplevelsen jag hade av universitetsmatematik. Den andra positiva upplevelsen fann jag i appendixet till första boken "Algebra och kombinatorik" (Anders Vretblad). Där fanns dessa axiom (plus några till har jag för mig). Det var häftigt att läsa när man aldrig ifrågasatt eller funderat över talen och räknesätten tidigare.

Jisses det liknar min matte C, jag HATAR matte

Vi på Göteborgs Universitet använde också Vretblad. Jag har försökt och någorlunda lyckats förstå definitionen av reella tal genom "Dedekinds snitt", men föredrar att använda Cauchyföljder.
(Några olika sätt att definiera reella tal: http://www.fact-index.com/c/co/construction_of_real_numbers.html)