Detta är troligt väldigt enkel för er men ni som tycker det är enkel kan väll då vänta med att skriva svaret och låta dom andra som tycker detta är lite knepigt svara.


I en påse så finns det ett antal 1-kronor och ett antal 5-kronor.
Tillsammans har dom ett värde av 79 kr.
Antal mynt är 27.

Hur många 1-kronor och 5-kronor finns i påsen?

Är det en skoluppgift? ;)

x + y = 27 | *(-5)
x + 5y = 79

-5x - 5y = -135
x + 5y = 79

-4x = -56
x = -56/-4 = 14

y = 27 - 14
y = 13

Svar: I påsen finns 14 enkronor och 13 femkronor.

/Thomas

Jag har en lite svårare uppgift för de som är intresserade...

Man har en ståltråd som är 100 cm lång. Nu ska man klippa denna ståltråd i två delar och av en del ska man vika en kvadrat och av den andra en cirkel. Hur långa skall bitarna vara för att den totala arean ska bli så stor som möjligt?

Bit i den ni! ;)

/Thomas

Okej, jag biter...

Man gör kvadraten så liten som det bara går rent materialtekniskt och använder resten till att göra en jättecirkel. Detta eftersom cirkeln har en lägre omkrets/area faktor än kvadraten (pi respektive 4).

// Johan

PS. Detta är också förklaringen varför cirkelformen är vanligare i naturen än kvadraten, då det således går åt mindre energi att bibehålla cirkelformen. Jämför även deras tredimensionella motsvarigheter med sfären respektive kuben. Hade varit rätt roligt med kubiska regndroppar faktiskt... :-)

Dessutom, eftersom arean är proportionell mot kvadraten på längden, ger en enda cirkelskiva med vars omkrets är ett givet tal större area än två cirkelskivor vilkas sammanlagda omkretser är det givna talet.

Men om man är tvungen att göra en kvadrat och en cirkel, och ingen av dem får vara så liten att den inte går att se/klippa till, vad blir arean då? =)

Ok, ändrar uppgiften lite så den blir exakt som en matteuppgift jag haft =)
Den lyder som följer:

"En ståltråd med längden 100,00 cm klipps i två delar. Den ena delen viks till en kvadrat och den andra böjs till en cirkel. Hur långa skall delarna vara för att den sammanlagda arean av kvadraten och cirkeln skall anta ett extremvärde? Är detta värde ett maximum eller ett minimum? Svara i cm, med en decimals noggrannhet."

Det kanske säger mer än mitt senaste försök? ;)

Bit vidare! ;)

/Thomas

Verkar som man måste veta trådens area för att komma åt extremvärdet.

Man behöver inte veta något mer än det som är angivet, nämligen att det är en cirkel och en kvadrat och totala omkretsen är 100 cm... Räkna inte med trådens tjocklek eller liknande, anta bara att den "inte existerar" ;)

Vi kör till att börja med med meter som enhet.

Sätt cirkelns omkrets till x. Kvadratens omkrets är då (1-x).
Cirkelns radie är x/(2*pi) och dess area är pi*r^2 = pi*(x/(2*pi))^2 = x^2/(4*pi).
Kvadratens sida är (1-x)/4 och dess area är (1-x)^2/16.
Totala arean är alltså A = x^2/(4*pi) + (1-x)^2/16.

För att finns extremvärden deriverar vi arean m.a.p. x
dA/dx = 2*x/(4*pi) - 2*(1-x)/16 = x/(2*pi) - (1-x)/8.
och sätter derivatan lika med 0
0 = x/(2*pi) - (1-x)/8
x/(2*pi) + x/8 = 1/8
Multiplicera med 8*pi
4*x + pi*x = pi
Alltså,
x = pi/(4+pi) = 0,44 (0,439901)

Eftersom vi redan ha kommit fram till att vi får ett maximum då x=1, borde detta vara ett minimum. För säkerhets skull kollar vi andraderivatan:
d^2A/dx^2 = 1/(2*pi) + 1/8 > 0
Det är alltså ett minimum.

Arean blir i detta fall
A = 0,44^2/(4*pi) + 0,56^2/16 = 0,035 m^2

Svar: Cirkeln skall bildas av en bit som är 44 cm, kvadraten av resterande bit på 56 cm.


Lokala maximum i ytterligheterna x=0 och x=1 ger areorna 1/16 = 0,0625 m^2 resp. 1/(4*pi) = 0,80 m^2.

Thomas,

jag tror att du minns formuleringe fel för mitt svar blir som tidigare, men jag formulerar om för att förklara.

Extremvärdet uppnås då man använder en så stor del som möjligt av tråden för att göra en cirkel och så liten del som möjligt att göra en kvadrat. Således, skulle jag göra en kvadrat som är så liten som möjligt men att den ändå uppfyller kriteriet för att vara synlig. Dock kan jag inte svara med siffror eftersom det inte framgår var gränsen för synlighet går. (Min halvblinda farfar eller jag själv? Med eller utan mikroskop? osv).

Frågan går att besvara men inte med några siffror som du begär utan mer specifik data.

// Johan

Snyggt Per, precis så ska svaret vara!

Vill ni ha fler ur derivatans värld?
Ok, här kommer en till!

<b>"Ett lekutrymme för barn med formen av en rektangel skall placeras så att det passar in på ett område med formen av en rätvinklig triangel. Triangelns kateter är 4m respektive 12 m. Bestäm den maximala arean för lekutrymmet."</b>

Eller om någon vill lösa en lite svårare:

<b>"Bestäm ekvationen för tangenten till y = sin(2x + pi/6) då x = pi/3. Exakt svar krävs!"</b>

Kanske Per löser dessa utan problem också? =)

Hej Johan!

Det var mitt misstag tidigare, kom ihåg att det var ett maximivärde så jag formulerade om frågan till det, och du har helt rätt svar på just den frågan...
Dock till den "korrekta" frågan så har Per svarat helt rätt...

Mvh,
Thomas

Hej igen,

Jag postade samtidigt som Per och när jag läste hans svar så förstod jag vad du var ute efter... :-)

Intressant att läsa dina följdfrågor här, är det din hemläxa som vi hjälper dig med...? :-D

// Johan

Nejdå, det är en gammal tent som vi fått öva på före tenten =)
Har löst alla frågor jag frågar er ;)

/Thomas

<b>"Bestäm ekvationen för tangenten till y = sin(2x + pi/6) då x = pi/3. Exakt svar krävs!"</b>

f'(x) = 2 cos(2x + pi/6)
f'(pi/3) = 2 cos(2*pi/3 + pi/6) = 2 cos(5*pi/6) = - 2 cos(pi/6) = - 2 * sqrt(3)/2 = - sqrt(3)

f(pi/3) = sin(2*pi/3 + pi/6) = sin(5*pi/6) = sin(pi/6) = 1/2

Tangentens ekvation:
y = g(x) = f(pi/3) + (x - pi/3) f'(pi/3) = 1/2 + (x - pi/3) * (-sqrt(3)) = 1/2 - (x - pi/3) * sqrt(3).

Svar: y = 1/2 - (x - pi/3) * sqrt(3).


Edit: Hade satt in fel värde i f()... *skäms*

Per, är du mattelärare eller?! ;)
Kanske ingenjör? =)

En liten fråga bara, är ditt svar samma som y = 1/2 - sqr(3) * (x - pi/3), vilket vi fått som det rätta svaret och jag kommit fram till?

/Thomas

Kanske du kan denna också?
Tilläggas kan att jag inte löst denna, har inte ens försökt då det inte behövdes...

<b>Bestäm de punkter på hyperbeln x^2 - y^2 = 4 som ligger närmast punkten (0, 1). Exakt svar krävs.</b>

/Thomas

Tänkte bara påpeka på den första frågan att det vore väl lättare att använda
1x + 5 * (27 - x) = 79
istället för ha två okända?

<b>En liten fråga bara, är ditt svar samma som y = 1/2 - sqr(3) * (x - pi/3), vilket vi fått som det rätta svaret och jag kommit fram till?</b>

Nu är det samma... Jag hade gjort ett litet slarvfel...

<b>Bestäm de punkter på hyperbeln x^2 - y^2 = 4 som ligger närmast punkten (0, 1). Exakt svar krävs.</b>

Avståndet L mellan punkten P=(x,y) och Q=(0, 1) uppfyller
L^2 = (x-0)^2 + (y-1)^2 = x^2 + y^2 - 2 y + 1.

Om P ligger på hyperbeln x^2 - y^2 = 4, dvs x^2 = 4 + y^2, får vi
L^2 = (4 + y^2) + y^2 - 2 y + 1 = 2 y^2 - 2 y + 5 = 2 (y^2 - y + 5/2) = 2 ((y - 1/2)^2 + (5/2 - 1/4))

Minimum uppträder då y - 1/2 = 0, dvs för y = 1/2. Då är x^2 = 4 + (1/2)^2 = 17/16, dvs x = +- sqrt(17)/4. Både plus och minus är okej.

Minimala avståndet blir
L^2 = 2 (5/2 - 1/4) = 5 - 1/2 = 9/2,
L = 3/sqrt(2)


Svar: Punkterna är (-sqrt(17)/4, +1/2) och (+sqrt(17)/4, +1/2) och avståndet är då 3/sqrt(2).

Kom på en gammal fråga som vi fick på en tenta en gång i tiden. Kommer inte ihåg de exakta siffrorna men däremot hur man löste den.

En snöplog åker ut klockan 12. klockan 1 har han plogat 40km och klockan 2 har han plogat sammanlagt 70km.

När började det snöa?

Hehe, det borde ju ha börjat snöa lite före 12 då, för man vill ju inte ploga noll centimeter snö...
Dessutom beror det på om det snöar, hur mycket etc om man ska koppla det till verkiga livet... =)

Men det finns väl säkert en hake med frågan?
Enligt mig spelar kilometrarna ingen roll eftersom plogbilen började ploga kl 12 borde det redan finnas snö att ploga då...

/Thomas

Mellan klockan 1 och klockan 2 lyckas han ploga 30 km men mellan klockan 12 och 1 så lyckas han ploga 40 km. totalt 70 km.

Det går ju inte riktigt att räkna ut det ( tror jag iallafall ) för att logiskt så säger ju matten här att han måste ha börjat ploga redan innan klockan 12.
Men det skulle kunna gå om han hade en högre hastighet den första timmen.

Man skulle kunna tänka sig att plogbilens hastighet ändras med snödjupet, men så tror jag inte att det är i praktiken.