Nu måste Niklas eller någon annan förklara det här.

är 1/3 _exakt_ 0.333 i oändligheten?

om man tar 0.3333 oändligt * 3 , blir det 1 eller 0.9999 oändligt då?
eller är 1 == 0.99999 oändligt?

är det bara en tankevurpa att man skiljer på 1 och 0.9999 oändligt?

för jag är ju väl medveten att 1/3*3 == 1

så ligger felet i att man inte kan ta 0.3333 oändligt * 3 eftersom det inte går att multiplicera något som är oändligt långt?

Det är egentligen ganska enkelt.

Om vi betecknar 0.333... med 0.{3}, så har vi till exempel 0.33{3} = 0.{3}, ok?

1/3 = 0.{3}, helt korrekt.

om vi tar 1/3* 3 så får vi 1, naturligtvis. Om vi tar 0.{3} * 2 så får vi 0.{6}. Tar vi 0.{3} * 3 så får vi 0.{9}.

Det enda möjliga svaret är 1 === 0.{9}.

Samma sak gäller i andra talsystem, i det binära är 0.{1} === 1.
i det oktala är 0.{7} === 1

osv.

Det enda "felet" är väl egentligen att vanlig decimalnotation (0,333) inte klarar av att beskriva perfekta tredjedelar av 1.

Enligt grundläggande elementära definitioner finns det oändligt med reella tal mellan 0 och 1. De är dessutom ouppräkneliga enl välkända bevis.

Detta medför att för varje två reella tal, 0 =< X < Y =< 1, så finns det ett tal Z så att X<Z<Y.

Så långt tror jag (hoppas jag) vi alla är överens.

Detta medför också att för varje tal Y < 1 finns det ett tal Z så att Y < Z < 1.

Om Y = 0.999... och 0.999 != 1 så måste

0.999... < Z < 1

Det finns inget sådant tal alltså är dom samma tal

"grundläggande elementära definitioner"?

Antingen så har du ganska långt gågna matematiska kunskaper om du anser att defintionen på reella tal är elementär, eller så känner du inte till hur pass krångliga de är. (http://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_real_numbers).

Om du ska vara så pass stringent, så är problemet med din utsago att du inte bevisar att det inte finns något tal emellan. Vem som helst inser ju att det är svårt att hitta, men bevisat det har du inte. Det du säger är ju dock, naturligtvis, korrekt.

Men om man enbart tittar på periodiska decimalutvecklingar, så är det ganska lätt att visa att alla periodiska decimalutvecklingar exakt motsvarar ett specifikt rationellt tal, och också vilket tal det är. Eftersom vi lätt kan visa att 1.{0} motsvarar det rationella talet 1, och 0.{9} också motsvarar talet 1, så har vi trots allt ett bevis, utan att för den delen gå utanför rationella talen. Du behöver inte blanda in reella tal öht.

fick en motfråga av en polare.

hur kan man bevisa med x<z<y att x och y är olika utan att använda oändlig rekursion?

för jag antar att z måste vara != både x och y.

och då måste man ju bevisa att x och z är olika och att y och z är olika

och får då upprepa samma process för varje steg oändligt..

När Ni är så djupsinniga så måste jag ta upp en sak.

Kollar ofta på Discovery.

Om man "trär" en cylinder över Eiffeltornet som passa exakt
så kommer luften i den cylinder väga mer än tornet.

Sant eller Falskt ?

Tornet är enl. officiella siffror 324 m högt
och väger 10100 ton

Basytan har jag inte koll på !

DS

<b>>hur kan man bevisa med x<z<y att x och y är olika utan att använda oändlig rekursion?</b>
Frågade en grej på forumet för något år sen som handlade om en snarlik grej, fast då var det en fråga om axiom. Det fick mig däremot på rätt tankar, var lite för högtflygande.


Om du har "strikt mindre än" så betyder ju det i sig att talen inte är samma (se "grundläggande elementära definitioner" ovan...). I övrigt kan du se det ganska enkelt utan att gå till själva definitionen.

om z > x så gäller z = x + z0, där z0>0. om dessutom y > z så gäller y = z + z1, där z1>0.
Sätter vi in z i sista uttrycket får vi y = z+z1 = x + z0 + z1. z0 och z1 > 0, så z0 + z1 >0. Alltså måste x och y vara olika tal.

Vill ha en utredning på Eiffeltornet !
Och hur mycket väger luften.

Jag har suttit under Eiffeltornet och bedömer att basytan är 200 *200 m

DS

Om basytan är 200x200m så behövs det en cylinder med diametern 200*sqrt(2)

Volymen på cylindern blir därför (200*sqrt(2)/2)^2*Pi*324=20000*324*pi = ~ 20e6 m3

1m3 luft väger ungefär 1 kg => 20000 ton.

Och det är tyngre än Eiffeltornet som väger ca
10 100 ton

http://sv.wikipedia.org/wiki/Eiffeltornet

:)

hehe..
http://en.wikipedia.org/wiki/Construction_of_real_numbers
var en bra länk..
Nu fattar jag ännu mindre :-S

Tänk på reella tal som gränsvärden av rationella tal (dvs bråktal). Det är tanken bakom de tre första konstruktionerna.

I sammanhanget kan det ju vara bra att göra helt klart vad rationella tal är, och varför det är rimligt att se reella tal på det sättet. Mycket längre i kunskaperna om den rena matematiken bakom har jag själv inte kommit (även om jag har en hyfsat övergripande förståelse av definitionerna).

Om vi bortser från den helt strikta definitionen av rationella tal med talpar och exakta definitoner av räkneregler kan vi säga följande:

Ett rationellt tal är en kvot av två hela tal. De kan vara negativa eller positiva. 3/6 är ett rationellt tal, och också 6/3. Rationella tal kan skrivas på olika sätt; flera rationella tal är så att säga samma tal. 3/6 är samma tal som 1/2, och 6/3 är samma tal som 2/1. Storleken på nämnaren kan i någon mening vara ett mått på hur exakt man kan ange ett tal. Om vi begränsar oss till tal a/b, där a<b, så motsvarar det rationella tal mellan de hela talen 0 och 1. [0,1)

Om nämnaren är 2 så kan vi på så sätt beskriva två tal; 0/2 och 1/2.
Är nämnaren 3, kan vi beskriva tre tal; 0/3, 1/3, 2/3.
Och generellt, om nämnaren är n, kan vi beskriva n tal; 0/n, 1/n, ... (n-1)/n

Låt nu säga att vi har konstruerat ett tal x, 0<x<1. Vi vet inte hur man kan beskriva x, men om vi får ett rationellt tal, kan vi direkt säga om det är mindre eller större än x.

Om vi nu väljer ett fixt värde på n, så kommer vi få, säg, "i" tal som är lägre, och "n-i" som är högre än x. Vi har alltså ett intervall inom vilket x absolut måste ligga; i/n och (i+1)/n. Om vi nu ökar n, kanske dubblar eller ökar med 1, så får vi fler tal att jämföra med. Vi får också ett snävare intervall.

Tänk nu att vi ökar n många gånger. Antingen kommer vi stöta på vårt tal x; det finns ett tal i, sådant att x = i/n, och då är x ett rationellt tal. Eller så kommer vi aldrig hitta ett n där det funkar.

Om vi aldrig hittar ett n där det funkar finns det inget vettigt sätt att beskriva vårt tal rakt av. Vi har inget kort sätt att beskriva det, utom på det sättet vi kan konstruera det, precis i början.

Vad vi dock kan göra är att "lite teoretiskt" säga att det är det tal som vi sakta men säkert ringar in genom att öka n. När "n är oändlig" så har vi exakt ringat in det. Vi får helt enkelt beskriva talet med hela serien intervall, eller "alla rationella tal som är mindre" och "alla rationella tal som är större", eller liknande.

PS. Ja... jag har för mycket tid... =)

<b>>hur kan man bevisa med x<z<y att x och y är olika utan att använda oändlig rekursion?
för jag antar att z måste vara != både x och y.
och då måste man ju bevisa att x och z är olika och att y och z är olika</b>
Aha, där missade jag den egentliga poängen. Eftersom det var ett tag sen jag höll på med grejer på den nivån är det lite svårt, de mest grundläggande sakerna är ofta ganska krångliga att få helt stringenta. Min spontana gissning är helt enkelt att detta direkt kommer ur definitionen på reella tal.

Eftersom reella tal enligt tidigare diskussion är ganska besvärliga (det står f.ö. hur det går till på wiki-sidan jag refererade till) skulle man kanske kunna se det genom att kolla på rationella tal. Om vi först kan acceptera det med heltal. Om a och b är heltal, och a < b så finns det ett annat heltal c != 0 sådant att a + c = b.
Det är just c != 0 som gör att det är två olika tal.

Vad betyder då x<y för rationella tal?
om x = a/b och y=c/d, så kan vi skriva dem på samma form: x = (ad)/(bd) y = (cb)/(bd)

Då kan vi istället titta på ad < bc .
Eftersom ad och bc är heltal, kan vi återigen hitta ett tal e != 0, ad + e = bc. Och fortfarande så är det e != 0 som är kravet som gör att ad != bc. Sen kan du använda samma sak i två steg utan problem.