var är haken här?

Theorem: All numbers are equal.
Proof: Choose arbitrary a and b, and let t = a + b. Then
<code>

a + b = t
(a + b)(a - b) = t(a - b)
a^2 - b^2 = ta - tb
a^2 - ta = b^2 - tb
a^2 - ta + (t^2)/4 = b^2 - tb + (t^2)/4
(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2
a - t/2 = b - t/2
a = b
</code>

jag antar att någonstanns blir det multiplicerat med 0 på vägen?
begriper mig ju inte på matte :P

(a - t/2)^2 = (b - t/2)^2 <-- där begriper jag ju att det är någe fuffens.. så är förkortningen galen?

Det är inget fuffens någonstans, allting är matematiskt korrekt. Det du pekar på är helt enkelt bara att man drar roten ur båda sidorna, vilket är "lagligt".

<b> (a - t/2)^2 = (b - t/2)^2
a - t/2 = b - t/2</b>

Det är i detta steg det blir fel. Det beror på att om x^2 = y^2 så är det inte säkert att x = y. Det sanna kan vara x = -y.

Kör vi på denna variant får vi
a - t/2 = - (b - t/2)
a - t/2 = t/2 - b
a + b = t
och vi är framme där vi började, vid t = a + b.

Och för att kanske göra det lite enklare att förstå:

Börja med att anta att a != b.
Gå hela vägen igenom. Vi får två lösningar, men eftersom a != b såstämmer inte "a - t/2 = b - t/2". Den enda lösningen är alltså den andra.

Om a == b, så stämmer båda utsagorna.

Man kan se det som att du faktiskt gör något motsvarande att dela med 0 genom att säga att x^2 = y^2 bara ger lösningen x = y. Du vill göra en inversion, men eftersom det är flera punkter som ger samma resultat, finns det ingen unik invers.

Man kan göra många sådana typer av argument som är likadana, men mycket lättare att förstå.

Ta till exempel funktionen
f(x) = {2x om x>0, 0 om x<=0}
Den skulle kunna ha inversen
f^-1(x) = g(x) = {x/2 om x>0, 0 om x<=0}

Genom att säga att
g(f(x)) = x
, så kan du säga att om a och b <= 0 så
f(a) = f(b)
g(f(a)) = g(f(b))
a = b

Felet ligger i att g(f(x)) = x inte stämmer om x<0. Det är samma sak som grejen ovan men mycket mer uppenbart.

Blev det verkligen enklare?

Låt mig dra ett "bevis" av att -1 = 1:
1 = 1 är förstås sant.
1^2 = (-1)^2 eftersom 1^2 = 1 och (-1)^2 = 1.
1 = -1 efter att vi har dragit roten ur båda leden.
Alltså, 1 = -1.

Okej, det kanske blev lite krångligare trots allt.

Ur matematisk synvinkel är det lätt att förstå att en funktion och dess "invers" (alltså en av dess inverser) inte går att använda på det sättet om funktionen inte är injektiv. Det är det som är hela grejen. Men det är lite krångligare..

Hur är det med detta då? =)


Proof that 1 = 2

let a = b
a² = ab Multiply both sides by a
a² + a² - 2ab = ab + a² - 2ab Add (a² - 2ab) to both sides
2(a² - ab) = a² - ab Factor the left, and collect like terms on the right
2 = 1 Divide both sides by (a² - ab)

Division med 0, eftersom a² - ab = a(a - b) och a - b = 0 enligt förutsättningarna.

Och min poäng är att det är samma sak eftersom funktionen x*0 kommer ge samma resultat oavsett x, och eftersom man försöker använda inversen.

Per, det är sant...
Niklas, även det sant ;)