Det här är väl iofs inte direkt en gåta, men den är lite smålustig. Kan vara svår att förklara men jag gör ett försök.

Du har en stav med en massa m, längd b och en (linjär) fjäder med fjäderkonstant k.
Stavens ändar sitter i varsitt spår (med hjul), friktionsfritt. Den övre delen av staven kan bara röra sig vertikalt (y-led), och den undre bara i x-led. Den undre sitter dessutom fast i fjädern. När staven är i upprätt läge så är fjädern i normalläge.

<code>
||
||
||
||
/o|
//||
// ||
// ||
//
_____//____________
_____oxxxxxxxxxxxxx
</code>

I vilka lägen kan staven sitta utan någon utomstående kraft, hur stor vinkel kan staven få?
(det beror alltså på k, m och b)

EDIT: Jag kan ju samtidigt meddela att det finns något speciellt knep med den, annars hade jag ju inte presenterat den här... =)

Jag förstår inte riktigt hur du menar med stavens upphägning, men är nyfiken på svaret.

Hmm hittar inget speciellt trick men jag får det till att :

[edit:censur]

eller

[edit:censur]

Där X är vinkeln mellan staven och den vertikala stången.

[Edit] Slog mig att andra kanske vill försöka lite till...sorry.

Insåg just att gåtan var nästan 10 dagar gammal så här kommer min lösning i alla fall :

Några formler :

F=ma (Newton, m=massa, a=acceleration=g=gravitationskonstanten)
F=kl (Hookes lag, k=fjäderkonstant, l=fjäderns utsträckning från normalläget)

Två krafter verkar i problemet. Den ena är kraften som staven massa skapar som är riktad neråt och har storleken F=mg. Den andra kraften är den som fjädern utveklar och den är riktad till höger och den har storleken F=kl. Kraften som drar staven nedåt kommer att hjälpa till att dra nedre änden av staven till vänster dvs motriktat fjäderkraften och det är dessa som behöver balanseras för att hitta lösningen.

Kraften som drar staven nedåt kan delas upp två komponenter, en som går längs med staven snett nedåt till vänster och sedan en som är vinkelrät mot denna. Den sistnämnda komponenten kommer att tas upp av de två fasta elementen "väggen" och "golvet". Kraften längs med staven har storleken mg*cos(X) där X är toppvinkeln.

Denna kraft, mg*cos(X), kan i sin tur delas upp i två komponenter, en riktad rakt ned som tas upp av "golvet". Den andra komponenten är den som måste balansera fjäderkraften och den har storleken mg*cos(X)*cos(Y) där Y är den nedre vinkeln.

Vi har alltså :

mg*cos(X)*cos(Y) = kl

men fjäderutsträckningen l kan beräknas med längden på staven b samt nedre vinkeln Y till b*cos(Y).

mg*cos(X)*cos(Y) = kb*cos(y)

mg*cos(X) = kb

cos(X)=kb/mg

X = cos^-1(kb/mg)

där X alltså är den övre vinkeln. Jag har säkert missat något med krafterna, men det kanske inte är helt långt borta?

Ger mig på lite ASCII-konst jag också :-) Har försökt rita lite kraftpilar...

Det gör mig lite orolig dock att du säger att det finns ett trick. Det betyder antagligen att jag gjort allt detta i onödan :-) Dessutom kan jag ju ha missförstått problembeskrivningen så antagligen är jag helt ute och cyklar, men det är kul med matematik/fysik :-)

<code>
/|
/ |
/ |
/ X |
/ |
/ |
/ |
/| |
mgcos(X) / |mg |
/ | |
|/ \/ |
/ |
/ |
/ |
/ |
mgcos(X)cos(Y) / Y kbcos(Y) |
<-------0--------->---------------
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx-

| |
|<-------------->|
fjäderns utsträckning = bcos(Y)
</code>

Hehe... ja, jag trodde inte någon skulle börja försöka, så jag kan lika gärna presentera lösningen direkt... =)

>Det gör mig lite orolig dock att du säger att det finns ett trick. Det betyder antagligen att jag gjort allt detta i onödan :-)
Nja... ett trick är det inte, men det har en lite speciell lösning som inte är vad man tror från början...

Du har uppenbart tänkt en del, men du har tyvärr fel...

(Jag har snott det från en bok, så jag skriver i princip av...)
Metoden man löser det med är s.k. "virtuellt arbete", vilket innebär att man hittar jämviktslägena genom att studera infintesimala förändringar av variabler och studera när derivatan är lika med noll. Sen så skall det dessutom vara stabila lägen (d.v.s andraderivatan >0)

Det man då gör är att studera den potentiella energin i olika lägen. Det finns två olika, den i fjädern och den av gravitationen. (x är hur långt den är usträckt mot vänster, och phi är vinkeln i övre delen)
Ve=1/2 kx^2 = 1/2 kb^2 sin^2(phi)
Vg=mg b/2 cos(phi)

Vilket ger den totala potentiella energin
V=1/2 (kb^2 sin^2(phi) + mgb cos(phi))

Jämvikt infaller när derivatan är lika med noll; och vi kollar för vilka vinklar phi detta sker.
dV/dphi = kb^2sin(phi)cos(phi) - 1/2 mgbsin(phi) = (kb^2cos(phi)-1/2mgb)*sin(phi)=0

Vilket ger två lösningar;
(kb^2cos(phi)-1/2mgb)=0
=>
cos(phi)=(mg)/(2kb)

eller

sin(phi)=0

Stabila lösningar infaller som sagt i de jämviktspositioner där andraderivatan>0:

V''=kb^2(cos^2phi-sin^2phi) - 1/2 mgb cos phi
=kb^2(2cos^2phi-1) - 1/2 mgb cos phi

sin phi=0 ger phi=0, vilket ger
V''=kb^2(2-1)-1/2 mgb=kb^2(1-mg/2kb). Detta är bara positivt om k>mg/2b, och alltså bara stabilt i det läget.
En lösning är alltså att phi=0 (den står i upprätt läge), och inträffar om fjädern är tillräckligt stark.

Andra lösningen:
cos phi=mg/2kb =>
V''=kb^2(2(mg/2kb)^2-1)-1/2 mgb(mg/2kb) = kb^2((mg/2kb)^2-1)

eftersom cos phi<1, så måste k>mg/2b, vilket gör att den andra lösningens andraderivata alltid är negativ, och alltså inte stabil.

Slutsatsen (och om någon har orkat läsa igenom allt det här så är det bara att gratulera... =) ):
Det enda stabila läget är när pinnen står rakt upp, och det inträffar om fjädern är tillräckligt stark, annars åker den ner och hela mackapären går sönder.
Det är ju inte direkt det man förväntar sig... det "borde" finnas något läge där pinnen står snett och kraften precis kan hålla emot; men så är det alltså inte.

Jag skulle nog vilja påstå att min lösning är ok också, jag har bara inte analyserat nollställena i min lösning :

f(x) = mgcos(x)-kb

f'(x) = mgsin(x)

f''(x) = -mgcos(x) = 0 => x= pi(n+1/2) => 90 grader är enda intressanta lösningen.

Däremot ser man inte lösningen 0 grader i min lösning men den kan man ju se rent intellektuellt, om bara fjädern är stark nog att övervinna tyngdkraften så är ju 0 grader en lösning :-)

Jag måste dock säga att rent intellektuellt så känns det som att det borde finnas en lösning för varje vinkel, bara fjäderns styrka var anpassad, men det var ju det som var grejen med problemet så jag uppskattade verkligen denna "gåta" :-)

Jag uppskattar alltid lösningar som är rent matematiska eller fysikaliska, men det har gått 8 år sedan jag slutade plugga matte/fysik så jag fick ta till lite mer elementära pilar och sådant (från teknologi-lektionerna på gymnasiet) för att ta tag i problemet. Jag förstår dock din lösning, vilket glädjer mig, allt har jag inte glömt :-)