Mikaela tänker spara genom att köpa andelar i en aktiefond. Hon bestämmer sig för att köpa för 1000 kr vid varje årsskifta. Hon räknar med att fondandelarna ska stiga i värde med minst 7 % varje år. Hur mycket kommer hon i så fall räkna med att hennes sparande är värt omedelbart efter det fjärde året?
Antag att fondandelarna stiger med exakt 7 % varje år. Förändringsfaktorn är då 1,07.
Vi börjar med att räkna ut vad varje köp vuxit till efter fjärde köpet. Sedan adderar vi beloppen.
Summan kallas en 'geometrisk summa' med 'fyra termer', 'första termen' 1000 och 'kvoten' 1,07. Denna summa kan enkelt beräknas med en formel som vi nu ska härleda.
där k inte är 1. Detta är en geometrisk summa med 'n' termer, första termen 'a' och kvoten 'k'. Vi skriver upp uttrycken för 's' och 'k * s'. Uttrycket för 'k * s' får vi genom att multiplicera varje term i uttrycket för 's' med 'k'.
Vi subtraherar dessa likheter ledvis. De flästa termerna i HL tar då ut varandra och vi får
k * s - s=ak^n - a s(k - 1)=a(k^n - 1)
Genom division med 'k - 1' får vi
a(k^n - 1) s=---------- k - 1
Formeln för en geometrisk summa: Den geometriska summan med 'n' termer, första termen 'a' och kvoten 'k', där 'k' inte är 1, ges av
a(k^n - 1) s=---------- k - 1
Detta programmet löser uppgifter som den ovan när Mikaela vill veta hur mycket pengar hon har efter fyra år. Nu kommer ni antagligen också förstå hur programmet funkar. Istället för att göra en loop så använder man bara formeln för den Geometriska Summan.