Hade en jävla tråkig tenta att plugga till, så tankarna vandrade iväg till sinus och cosinus... =)

Nåväl. Om vi snackar i grader så har vi att sin(30 grader)=1/2 och cos(30 grader)=sqrt(3)/2.

Det ser ju hyggligt ut. Ett annat exempel är cos 45=sin 45=1/sqrt(2)=sqrt(2)/2
De är ok, men jag tyckte att det borde varit snyggare om cosinus och sinus av samma vinkel kunde ta och vara rationella tal istället. Efter lite funderande kom jag fram till svaret, så... hur är det, går det att få dem rationella båda två samtidigt?
Och hur eller varför?

O, ja, det går. Vill du ha exempel?

Radianer vs. Grader

;)

> Radianer vs. Grader

Vad menar du?

>Radianer vs. Grader
Öh?

Borde väl också nämnt att jag struntar i 0, 1, -1 -"kombinationer". Idén var att man skulle få fram lite snyggare samband i mekaniska problem.

Här kommer lösningen:

Låt a, b, c vara en pythagoreisk trippel, dvs a^2 + b^2 = c^2.
Då gäller att a/c och b/c är rationella tal och (a/c)^2 + (b/c)^2 = 1.
Om vi sätter (vinkeln) v = arc tan(a/b), får vi att sin(v) = a/c och cos(v) = b/c,
så både sin(v) och cos(v) är rationella tal.
Även -v och pi-v (vid radianer) ger rationella värden på sin och cos.
Eftersom det finns oändligt många pythagoreiska tripplar (*), finns oändligt många vinklar för vilka både sin och cos är rationella.

(*) Det finns oändligt många pythagoreiska tripplar, ty om m och n är heltal,
så är a = m^2 - n^2, b = 2 m n, c = m^2 + n^2 en pythagoreisk trippel:
a^2 + b^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2 m n)^2 = (m^4 - 2 m^2 n^2 + n^4) + 4 m^2 n^2
= m^4 + 2 m^2 n^2 + n^4 = (m^2 + n^2)^2 = c^2.

Så enkelt e de... =)
Och man kan ju nämna de vanligaste exemplen; (3/5, 4/5) och (5/13, 12/13).

Snyggt! Kopplingen till phytagoras såg jag inte direkt men det är ju uppenbart när man känner till det :-)

Underbart att gamla Pythagora(obs stavningen Hultan ;-)
580 fK 500 fK grekisk filosof och matematiker från Samos ,åter kommer till heders.

Det här fick mig också att inse några saker om pythagoreiska tripplar...

Om (a, b, c) och (A, B, C) är två pythagoreiska tripplar,
så är även (a A - b B, a B + b A, c C) en pythagoreisk trippel.

Specialfall:
Om (a, b, c), med a > b, är en pythagoreisk trippel,
så är även (a^2 - b^2, 2 a b, c^2) en pythagoreisk trippel.


För den aktuella frågeställningen kan vi konstatera att
om v och w båda är vinklar vars sin- och cos-värden båda är rationella,
så har även v + w rationella värden på både sin och cos.

Detta (tillsammans med ett par triviala fakta) innebär att mängden av vinklar vars sin- och cos-värden båda är rationella utgör en abelsk grupp under addition.

Nu börjar det bli stake i analysen.Förstår inte allt men skall lägga koll på att testa.

Du gamla Pythagaros "we love you"