Halloj.

Har suttit lite med ett matematiskt problem som handlar om att man ska sätta en punkt i en triangel där sträckorna från hörnen är så liten som möjligt. Någon har talat om för mig att denna punkt kallas Fermats punkt.

Det jag nu skulle behöva lite hjälp med är om någon vänlig själ skulle kunna förklara för mig hur man får ut den här punkten. Och förklara på ett hyggligt enkelt sätt (är ingen stjärna på matematik)..


M V H
Johannes

Har inte hört om problemet (åtminstone inte exakt som du formulerar det). Det kan finnas en enklare, snyggare lösning, men här är ett förslag (och jag som borde plugga matematisk fysik nu...=/ )

För det första måste man ju förklara vad "sträckorna från hörnen är så liten som möjligt" betyder. Är det summan av sträckorna från hörnen?
Man kan tänka sig flera andra varianter;
- ska den största sträckan vara så liten som möjligt?
- ska den minst sträckan vara så liten som möjligt (ok, den kanske e lite löjlig)
- ska summan av kvadraten på sträckorna vara så liten som möjligt?
Den sistnämnda är troligtvis enklast att lösa, och påminner om ett sätt hur man hittar bästa anpassningar till funktion (Taylorserie, etc.)

Nåväl: Man kan tänka sig att man lägger den största sidan av triangeln på x-axeln och sätter ena punkten i x=0.

Då får man tre punkter i triangeln; (0, 0), (x1, 0), (x2, y2)

Sen får man bestämma en funktion som beskriver denna "totala sträcka", som funktion av x och y för en given punkt.

Låt säga att vi tar punkten (x, y). Då kan vi tillexempel få funktionen:
f(x,y)=sqrt(x^2+y^2)+sqrt((x-x1)^2+y^2)+sqrt((x-x2)^2+(y-y2)^2)
av pythagoras sats.

Och sen handlar det om att minimera denna. Det gör man genom att ta derivatan av funktionen i x- och y-led, sätta dem lika med 0, och på det sättet få fram ett ekvationssystem för x och y.

Annars är det inte omöjligt att lösa det geometriskt.

Och här är en variant som är extremt mycket enklare än min vansinnesidé:
http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/fermat.html

Tackar och bockar för hjälpen! Mycket nyttigt..